Как найти эффективную ширину спектра

Эффективная длительность и эффективная ширина спектра сигнала

Литература: [Л.1], с 50-51

Для решения практических задач радиотехники крайне важно знать значения длительности и ширины спектра сигнала, а также соотношение между ними. Знание длительности сигнала позволяет решать задачи эффективного использования времени, предоставляемого для передачи сообщений, а знание ширины спектра – эффективного использования диапазона радиочастот.

Решение указанных задач требует строгого определения понятий «эффективная длительность» и «эффективная ширина спектра». На практике существует большое число подходов к определению длительности. В том случае, когда сигнал ограничен во времени (финишный сигнал), как это имеет место, например, для прямоугольного импульса, определение длительности не встречает затруднений. Иначе обстоит дело, когда теоретически сигнал имеет бесконечную длительность, например, экспоненциальный импульс

В этом случае в качестве эффективной длительности может быть принят интервал времени , в течение которого значение сигнала . При другом способе в качестве выбирают интервал времени, в течение которого . То же самое можно сказать и в отношении определения эффективной ширины спектра .

Хотя в дальнейшем, некоторые из этих способов будут использоваться при анализе радиотехнических сигналов и цепей, следует отметить, что выбор способа существенно зависит от формы сигнала и структуры спектра. Так для экспоненциального импульса более предпочтителен первый из указанных способов, а для сигнала колоколообразной формы – второй способ.

Более универсальным является подход, использующий энергетические критерии. При таком подходе в качестве эффективной длительности и эффективной ширины спектра рассматриваются соответственно интервал времени и диапазон частот, в пределах которых сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала

, (2.52)

, (2.53)

где – коэффициент, показывающий, какая часть энергии сосредоточена в интервалах или . Обычно величину выбирают в пределах .

Применим критерии (2.52) и (2.53) для определения длительности и ширины спектра прямоугольного и экспоненциального импульсов. Для прямоугольного импульса вся энергия сосредоточена в интервале времени или , поэтому его длительность . Что касается эффективной ширины спектра, то установлено, что более 90% энергии импульса сосредоточено в пределах первого лепестка спектра. Если рассматривать односторонний (физический) спектр импульса, то ширина первого лепестка спектра составляет в круговых частотах или в циклических частотах. Отсюда следует, что эффективная ширина спектра прямоугольного импульса равна

или .

Перейдем к определению и экспоненциального импульса. Полная энергия импульса составляет

Воспользовавшись (2.52), получим

Вычислив интеграл в левой части уравнения и решив его, можно прийти к следующему результату

Спектр экспоненциального импульса найдем, воспользовавшись преобразованием Фурье

Подставляя это выражение в (2.53) и решая уравнение, получим

Найдем произведение эффективной длительности на эффективную ширину спектра. Для прямоугольного импульса это произведение составляет

или для циклических частот

Для экспоненциального импульса

Таким образом, произведение эффективной длительности на эффективную ширину спектра одиночного сигнала есть постоянная величина, зависящая только от формы сигнала и величины коэффициента . Это означает, что при уменьшении длительности сигнала его спектр расширяется и наоборот. Этот факт уже отмечался пи рассмотрении свойства (2.46) преобразования Фурье. На практике это означает, что невозможно сформировать короткий сигнал, обладающий узким спектром, что является проявлением физического принципа неопределенности.

Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.

Источник

Определение сигнала восьмизначным равномерным кодом (11101001). Расчет ЛИС-цепи , страница 2

Для перехода описания сигнала во времени к описанию в частотной области используют прямое преобразование Фурье:

Таким образом, одиночный импульс, заданный на всей бесконечной оси времени, имеет сплошной спектр в виде непрерывной функции частоты , которая называется спектральной плотностью.

Значение спектральной плотности прямоугольного импульса находится из формулы:

Используем, одну из основных теорем о спектрах: теорему о спектре сигнала смещённого во времени :

Найдём длительность и задержку исходного сигнала:

Тогда выражение для спектральной плотности будет иметь вид:

Построим АЧХ и ФЧХ для функции спектральной плотности:

График модуля спектральной плотности сигнала

График аргумента спектральной плотности сигнала

· Найти спектр периодической последовательности, полученной повторением данного сигнала, относительно комплексного базиса Фурье, построить амплитудную и фазовую спектральные диаграммы

Рассмотрим непериодический сигнал конечной длительности . Спектральная плотность сигнала определяется выражением прямого преобразования Фурье:

Повторение финитного сигнала с периодом , большим, чем длительность , дает периодический сигнал , который в силу своей периодичности может быть представлен рядом Фурье со спектральными коэффициентами, определяемыми выражением:

Сравнивая последние два равенства и учитывая, что интеграл в бесконечных пределах от финитной функции равен интегралу по интервалу, содержащему носитель функции, можно записать равенство:

Таким образом, спектральная плотность импульсного сигнала имеет форму огибающей спектральных коэффициентов ряда Фурье периодической последовательности, образованной повторением данного импульсного сигнала с произвольным периодом.

Коэффициенты ряда Фурье даже для вещественного сигнала в общем случае являются комплексными. Для удобства графического представления рассматривают отдельно модули и аргументы коэффициентов , при этом совокупность называется амплитудным спектром, а — фазовым спектром сигнала. Если сигнал принимает вещественные значения, амплитудный спектр обладает свойством четности, а фазовый – свойством нечетности.

Для наглядности на графиках амплитудный и фазовый спектр совместим соответственно с модулем и аргументом спектральной плотности сигнала.

Амплитудный спектр сигнала

Фазовый спектр сигнала

· Найти автокорреляционную функцию сигнала, построить график

Одной из важных временных характеристик детерминированных сигналов, устанавливающих энергетическую связь сигнала с его сдвинутой на величину копией , является автокорреляционная функция (АКФ). Для сигналов с ограниченной областью АКФ вычисляется по формуле:

В теории сигналов также доказывается, что АКФ и энергетический спектр связаны парой преобразований Фурье:

Графически изобразим принцип метода определения АКФ. Для этого покажем степень связи (корреляции) сигнала со своей копией, сдвинутой на величину по оси времени. На данном графике можно наблюдать оригинал и копию сигнала без смещения. Затем будем смещать копию на величину (пусть )

На промежутках АКФ равна нулю:

По данным графикам сигнала и его сдвинутой копии, легко построить АКФ. Для этого необходимо посчитать площадь пересечения сигнала и его сдвинутой копии. Ясно, что функция достигнет своего максимума при , так как любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала. Точки для построения АКФ можно найти умозрительно, т.к. пересечения прямоугольного импульса с его сдвинутой копией представляется суммой определенных интегралов функции с амплитудой 10.

Построим график АКФ:

· Определить эффективную ширину спектра

Энергия одиночного импульса может быть вычислена либо во временной области, либо в частотной в соответствии с равенством Парсеваля:

В частотной области можно определить эффективную ширину спектра сигнала. Это такой частотный интервал, в котором сосредоточена подавляющая часть полной энергии сигнала. Обычно 90% или 95%.

Эффективную ширину спектра определим по формуле:

Для определения эффективной частоты построим график квадрата модуля спектральной плотности сигнала:

График функции

Из графика видно, что основная часть энергии сигнала сосредоточена в частотном интервале . Где — эффективная частота.

АлтГТУ 419
АлтГУ 113
АмПГУ 296
АГТУ 267
БИТТУ 794
БГТУ «Военмех» 1191
БГМУ 172
БГТУ 603
БГУ 155
БГУИР 391
БелГУТ 4908
БГЭУ 963
БНТУ 1070
БТЭУ ПК 689
БрГУ 179
ВНТУ 120
ВГУЭС 426
ВлГУ 645
ВМедА 611
ВолгГТУ 235
ВНУ им. Даля 166
ВЗФЭИ 245
ВятГСХА 101
ВятГГУ 139
ВятГУ 559
ГГДСК 171
ГомГМК 501
ГГМУ 1966
ГГТУ им. Сухого 4467
ГГУ им. Скорины 1590
ГМА им. Макарова 299
ДГПУ 159
ДальГАУ 279
ДВГГУ 134
ДВГМУ 408
ДВГТУ 936
ДВГУПС 305
ДВФУ 949
ДонГТУ 498
ДИТМ МНТУ 109
ИвГМА 488
ИГХТУ 131
ИжГТУ 145
КемГППК 171
КемГУ 508
КГМТУ 270
КировАТ 147
КГКСЭП 407
КГТА им. Дегтярева 174
КнАГТУ 2910
КрасГАУ 345
КрасГМУ 629
КГПУ им. Астафьева 133
КГТУ (СФУ) 567
КГТЭИ (СФУ) 112
КПК №2 177
КубГТУ 138
КубГУ 109
КузГПА 182
КузГТУ 789
МГТУ им. Носова 369
МГЭУ им. Сахарова 232
МГЭК 249
МГПУ 165
МАИ 144
МАДИ 151
МГИУ 1179
МГОУ 121
МГСУ 331
МГУ 273
МГУКИ 101
МГУПИ 225
МГУПС (МИИТ) 637
МГУТУ 122
МТУСИ 179
ХАИ 656
ТПУ 455
НИУ МЭИ 640
НМСУ «Горный» 1701
ХПИ 1534
НТУУ «КПИ» 213
НУК им. Макарова 543
НВ 1001
НГАВТ 362
НГАУ 411
НГАСУ 817
НГМУ 665
НГПУ 214
НГТУ 4610
НГУ 1993
НГУЭУ 499
НИИ 201
ОмГТУ 302
ОмГУПС 230
СПбПК №4 115
ПГУПС 2489
ПГПУ им. Короленко 296
ПНТУ им. Кондратюка 120
РАНХиГС 190
РОАТ МИИТ 608
РТА 245
РГГМУ 117
РГПУ им. Герцена 123
РГППУ 142
РГСУ 162
«МАТИ» — РГТУ 121
РГУНиГ 260
РЭУ им. Плеханова 123
РГАТУ им. Соловьёва 219
РязГМУ 125
РГРТУ 666
СамГТУ 131
СПбГАСУ 315
ИНЖЭКОН 328
СПбГИПСР 136
СПбГЛТУ им. Кирова 227
СПбГМТУ 143
СПбГПМУ 146
СПбГПУ 1599
СПбГТИ (ТУ) 293
СПбГТУРП 236
СПбГУ 578
ГУАП 524
СПбГУНиПТ 291
СПбГУПТД 438
СПбГУСЭ 226
СПбГУТ 194
СПГУТД 151
СПбГУЭФ 145
СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
ПИМаш 247
НИУ ИТМО 531
СГТУ им. Гагарина 114
СахГУ 278
СЗТУ 484
СибАГС 249
СибГАУ 462
СибГИУ 1654
СибГТУ 946
СГУПС 1473
СибГУТИ 2083
СибУПК 377
СФУ 2424
СНАУ 567
СумГУ 768
ТРТУ 149
ТОГУ 551
ТГЭУ 325
ТГУ (Томск) 276
ТГПУ 181
ТулГУ 553
УкрГАЖТ 234
УлГТУ 536
УИПКПРО 123
УрГПУ 195
УГТУ-УПИ 758
УГНТУ 570
УГТУ 134
ХГАЭП 138
ХГАФК 110
ХНАГХ 407
ХНУВД 512
ХНУ им. Каразина 305
ХНУРЭ 325
ХНЭУ 495
ЦПУ 157
ЧитГУ 220
ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник