Описание свойств материалов в волновых электромагнитных задачах
Всякий раз, когда мы решаем электродинамическую задачу в среде COMSOL Multiphysics, мы строим модель, состоящую из областей и граничных условий. Внутри областей, мы используем различные модели для описания и представления широкого спектра материалов и их свойств. Однако, с математической точки зрения, все эти различные материалы, в конечном итоге подчиняются одному и тому же основному уравнению. Давайте более подробно рассмотрим эти различные модели материалов и обсудим, когда их следует использовать.
Какие уравнения мы решаем?
В данной статье, мы будем подразумевать частотно-зависимую форму уравнений Максвелла в интерфейсе Electromagnetic Waves, Frequency Domain (Электромагнитные Волны, Частотная Область) доступном как в модуле Радиочастоты, так и в модуле Волновая Оптика. Представленная здесь информация применима в т.ч. для формулировок используемые в интерфейсе Electromagnetic Waves, Beam Envelopes (Электромагнитные Волны, Огибающие Пучка) в модуле Волновая Оптика.
В предположении линейности отклика материала от напряженности поля, основные уравнения Максвелла для частотной области могут быть представлены в виде:
Решение этого уравнения ищется для вектора напряженности электрического поля, \mathbf
Давайте теперь рассмотрим подробнее каждое из этих материальных свойств.
Электропроводность
Электропроводность является количественной мерой того, насколько хорошо материал проводит ток — это величина обратная к удельному электрическому сопротивлению. Проводимость материала измеряется при стационарных условиях (постоянном токе) и, как можно заметить из приведенного выше уравнения, с ростом частоты, эффективное удельное сопротивление материала возрастает. Обычно предполагается, что проводимость не изменяется с частотой. Позже, мы также рассмотрим различные модели материалов с частотно-зависимой проводимостью.
В любом материале с ненулевой проводимостью, в приложенном электрическом поле, будет возникать электрический ток и происходить рассеяние энергии, известное как резистивные потери, которые также называют Джоулевоым нагревом. Зачастую это вызывает ощутимое повышение температуры, которая будет изменять проводимость. Для учета изменения проводимости с температурой, вы можете задать любую функциональную зависимость или использовать экспериментальные данные. Можно также воспользоваться встроенной моделью линеаризованного удельного сопротивления.
Linearized Resistivity (Линеаризованная модель резистивности) — это часто применяемая модель для учета зависимости проводимости от температуры по формуле:
где \rho_0 — удельное сопротивление при референсной температуре, T_ — референсная температура, и \alpha является температурным коэффициентом удельного сопротивления. Пространственно-неоднородное поле температуры, T , может либо задаваться, либо расчитываться в процессе решения.
Проводимость вводится как действительное число, но она может быть анизотропной величиной, означающей, что проводимость материалов различается в разных координатных направлениях. Такой подход представляется вполне целесообразным, когда у вас имеется, например, слоистый материал, в котором вы не желаете явно моделировать отдельные слои. Для композитного материала можно ввести некую усредненную проводимость, которая будет либо определяться экспериментально или вычисляться в результате отдельного анализа.
В модуле Радиочастоты, имеется еще два варианта для вычисления усредненной проводимости: закон Арчи для вычисления эффективной проводимости непроводящей пористой среды, заполненной токопроводящей жидкостью и модель Пористой Среды для смеси материалов.
Archie’s Law (Закон Арчи) является моделью, как правило, используемой для моделирования почв, насыщенных морской водой или сырой нефтью, т.е. жидкостями с относительно высокой проводимостью по сравнению с почвой.
Porous Media (Пористая среда) – это группа моделей: имеется три различных варианта расчета эффективной проводимости для смеси, включающей вплоть до пяти компонентов. Во-первых, Volume Average, Conductivity (Усреднение по Объему для проводимости), которое формулируется как:
где \theta есть парциальный объем каждого материала — часть объема, занимаемого каждым из материалов смеси. Эта модель подходит, когда проводимости материалов имеют схожие значения. Если же проводимости совершенно разные, тогда формулировка Volume Average, Resistivity (Усреднение по объему для разистивности) является более подходящей:
Наконец, формулировка Power Law (Степенной Закон) даст значение проводимости, лежащее между двух других формулировок:
Все эти модели применимы только в случаях, когда масштаб длины, на которой материалы значительно меняют свои свойства, намного меньше, чем длина волны.
Относительная диэлектрическая проницаемость
Относительная диэлектрическая проницаемость является количественной мерой того, насколько хорошо материал поляризуется в ответ на приложенное электрическое поле. Принято любой материал с \epsilon_r>1 называть диэлектрическим материалом, хотя даже вакуум ( \epsilon_r=1 ) можно назвать диэлектриком. Широкое распространение получил также термин диэлектрическая постоянная для случаев, когда хотят сослаться на относительную диэлектрическую проницаемость материалов.
Относительная диэлектрическая проницаемость материалов часто задается в виде комплексного числа, где отрицательная мнимая часть представляет собой потери в материале при изменении вектором электрического поля своего направления с течением времени. Любой материал, подвергающийся воздействию изменяющегося во времени электрического поля, будет рассеивать часть электрической энергии в виде тепла. Известные как диэлектрические потери, они являются следствием изменения формы электронных облаков вокруг атомов под воздействием электрического поля. Диэлектрические потери концептуально отличаются от резистивных потерь, которые обсуждались ранее; однако, с математической точки зрения, они, на самом деле, описываются одинаково — как комплексно-значный член в основном уравнении. Имейте в виду, что в среде COMSOL Multiphysics предполагается, что отрицательная мнимая часть (положительное значение электропроводности) соответствует потерям, в то время как положительная мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости (отрицательное значение электропроводности) приведовит к нарастанию (т.е. генерации) излучения внутри материала.
Существует семь различных моделей материалов для относительной диэлектрической проницаемости. Рассмотрим каждую из этих моделей.
Relative Permittivity (Относительная диэлектрическая проницаемость) является опцией по умолчанию для модуля Радиочастоты. Можно вводить действительные или комплексные, скалярные или тензорные величины. Модели типа Porous Media, аналогичные описанным выше в разделе про электрическую проводимость, могут использоваться для относительной диэлектрической проницаемости.
Refractive Index (Показатель преломления) является опцией по умолчанию для модуля Волновая Оптика. Вы отдельно вводите действительную и мнимую части показателя преломления, обозначаемых n и k , и относительная диэлектрическая проницаемость при этом представляется как \epsilon_r=(n-jk)^2 . Эта модель материала предполагает нулевое значение проводимости и равенство единице магнитной проницаемости.
Loss Tangent (Тангенс угла диэлектрических потерь) требует задания действительной величины для относительной диэлектрической проницаемости, \epsilon_r' , и скалярной величины для тангенса потерь, \delta . Относительная диэлектрическая проницаемость вычисляется как \epsilon_r=\epsilon_r'(1-j \tan \delta) , при этом проводимость материала равна нулю.
Опция Dielectric Loss (Диэлектрические Потери) является вариантом ввода действительной и мнимой частей относительной диэлектрической проницаемости \epsilon_r=\epsilon_r'-j \epsilon_r'' . Будьте внимательны в отношении знака: введение положительного действительного числа для мнимой части \epsilon_r'' при использовании этого интерфейса приведет к потерям в модели (см.выше), так как умножение на -j выполняется внутри программного обеспечения. Примером использования данной модели материала, может послужить учебная модель Оптическое рассеяние на золотой наносфере.
Drude-Lorentz Dispersion (Дисперсия Друде-Лоренца) является моделью материалов, разработанной на основе модели свободных электронов Друде и модели осциллятора Лоренца. Модель Друде (при \omega_0=0 ) используется для металлов и легированных полупроводников, а модель Лоренца описывает резонансные явления, такие как фононные моды и межзонные переходы. С суммирующим членом, комбинация этих двух моделей позволяет достаточно точно описывать широкий спектр твердых материалов. Данная модель предсказывает частотную зависимость комплексной относительной диэлектрической проницаемости в виде:
где \epsilon_ <\infty>обозначает высокочастотный вклад в относительную диэлектрическую проницаемость, \omega_p — плазменная частота, f_k — силыосцилляторов, \omega_ <0k>являются резонансными частотами, а \Gamma_k — коэффициенты затухания. Поскольку данная модель вычисляет комплексно-значную диэлектрическую проницаемость, проводимость в среде COMSOL Multiphysics устанавливается равной нулю. Этот подход является одним из способов моделирования частотно-зависимой проводимости.
Debye Dispersion (Дисперсия Дебая) является моделью материала, разработанной Питером Дебаем, и основывается на временах релаксации поляризации. В первую очередь модель актуальна для полярных жидкостей. Она использует следующий вид частотной зависимости комплексной относительной диэлектрической проницаемости:
где \epsilon_ <\infty>обозначает высокочастотный вклад в относительную диэлектрическую проницаемость, \Delta \epsilon_k вклад k-го процесса для относительной диэлектрической проницаемости и \tau_k есть время релаксации. Поскольку данная модель вычисляет комплексно-значную диэлектрическую проницаемость, проводимость предполагается равной нулю. Это еще один альтернативный способ для моделирования частотно-зависимой проводимости.
Sellmeier Dispersion (Дисперсия Зельмейера) доступна в модуле Волновая Оптика и, как правило, используется для оптических материалов. Предполагается равенство нулю проводимости и единице магнитной проницаемости, а относительная диэлектрическая проницаемость определяется через рабочую длину волны, \lambda ,а не частоты:
где коэффициенты B_k и C_k определяют относительную диэлектрическую проницаемость.
Выбор между этими моделями определяется тем, какие именно свойства материала доступны для вас в технической литературе/справочниках. ОБратите внимание, что на математическом языке все они входят в основное уравнение идентичным образом.
Относительная магнитная проницаемость
Относительная магнитная проницаемость является количественной мерой того, каким образом материал реагирует на приложенное магнитное поле. Любой материал с \mu_r>1 обычно называется магнитным материалом (или магнетиком). Наиболее распространенным магнитным материалом на Земле является железо, но чистое железо редко применяется в радиотехнических или оптических приложениях. Гораздо чаще имеют дело с ферримагнитными материалами (или, ферримагнетиками — не путать с ферромагнетиками). Такие материалы проявляют сильные магнитные свойства с анизотропией, которая управляется постоянным внешним магнитным полем. В отличие от железа, ферримагнитные материалы обладают низкой проводимостью, так что высокочастотные электромагнитные поля способны проникать вглубь и взаимодействовать с объемом материала. Данная учебная модель демонстрирует каким образом можно описывать и моделировать ферримагнитные материалы в СВЧ-диапазоне.
В распоряжении имеется два доступных варианта для задания относительной магнитной проницаемости: модель Relative Permeability (Относительная магнитная проницаемость), которая используется по умолчанию в модуле Радиочастоты и модель Magnetic Losses (Магнитные потери). Модель Relative Permeability позволяет вводить вещественные или комплексные, скалярные или тензорные величины. Модели типа Porous Media, аналогичные описанным ранее в разделе про проводимость, могут использоваться для относительной магнитной проницаемости. Модель Magnetic Losses аналогична описанной выше модели Dielectric Loss в том, что действительная и мнимая части относительной магнитной проницаемости вводятся как вещественные числа. Мнимая часть проницаемости приводит к магнитным потерям в материале.
Замечания по моделированию и построению сеток
При любом моделировании электромагнитных явлений, одной из самых важных вещей, которую необходимо иметь в виду, является понятие глубины скин-слоя, — расстояния внутри материала, на котором поле спадает в 1/e раз от своего значения на поверхности. Глубина скин-слоя определяется из выражения:
где, как мы видели, относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости могут принимать комплексные значения.
Вам необходимо всегда контролировать глубину скин-слоя и сравнивать ее с характерными размерами областей в своей модели. Если глубина скин-слоя окажется гораздо меньше размеров объекта, можно вместо непосредственного моделирования этой области воспользоваться для нее граничными условиями, как описано здесь: “Моделирование металлических объектов в волновых электромагнитных задачах“. Если глубина скин-слоя сравнима или больше размеров объекта, то электромагнитные поля начнут проникать вглубь объекта.
Плоская волна падает на объекты с различными проводимостями и, следовательно, с различающимися размерами скин-слоев. Когда глубина скин-слоя оказывается меньше длины волны, используется сеточное разбиение на основе пограслойных элементов, показанное справа. Также приведено графическое отображение распределения электрического поля.
Если глубина скин-слоя меньше размеров объекта, то рекомендуется использовать сеточное разбиение на основе пограслойных элементов для разрешения резких изменений поля по направлению нормали к границе, минимум с одним элементом на скин-слой и минимум тремя элементами в пограничном слое. Если глубина скин-слоя больше эффективной длины волны в среде, то для необходимого разрешения достаточно иметь стандартное разбиение с пятью элементами на длину волны в среде, как показано слева на рисунке выше.
Заключение
В данной заметке мы рассмотрели различные варианты, имеющиеся в среде COMSOL Multiphysics, для задания свойств материала при моделировании электродинамических задач. Мы увидели, что математические модели материалов, в которых определяется относительная диэлектрическая проницаемость, подходят даже для металлов в определенном диапазоне частот. С другой стороны, мы также можем описывать металлические области с помощью граничных условий, как отмечалось ранее в нашем корпоративном блоге. Наряду с более ранними статьями по моделированию открытых границ и настройке различных типов портов, мы, к настоящему времени, охватили практически все основные аспекты электродинамического численного моделирования задач. Однако, это не все, что мы хотим вам рассказать, так что, следите за обновлениями!
Источник